返信が遅くなって申し訳ありません。
パセリを食器用洗剤につけておくのは誰もやっていませんね。
理由があるとすれば可能性は2つだと思います。

・パセリについている小さな虫やゴミを落とすためにつけている
・パセリを食器用洗剤につけておくとしゃきっとすると思う方がいる

しかし実際は正しくないのでよしたほうがいいと思います。
洗剤ではなく汚れやはりのあるパセリにしたいのなら40度程度のぬるま湯に軽くつけておくと効果があると思います。